高中指数函数单调性证明y=2^x 求证单调性,我正在上高一,能否用简单一点的,比如利用单调性的定义,还有,我在证明时遇到的情况也说一下,以下为错解：解法一：设x1＜x2,设c=x2-x1＞0f（x1）-f（x2）=2^x1-2^x2=2^x1(1-x^c)∵c＞0∴1＜x^c（这一步怎么得来的?难道不是用单调性的定义证明的?）解法二：设x1＜x2,设c=x2-x1＞0f（x1）除以f（x2）=2^
网友回答
这两种证明方法都没有循环论证的问题.两种证明方法中,我们用到的性质都是2的正数次幂大于1,这个性质并不是指数函数单调性的一个推论,而是可以从指数的定义中直接得出来的.问题在于,高中阶段根本无法解释像2的根号2次方怎么定义的问题,所以才不能直接证明这个性质.因为有理数次幂是有定义的,所以下面可以给出一个证明2的正有理数次幂大于1的证明：
1、2的正整数次幂大于1.这个可以用归纳法来证明.n=1,2>1,n=k,2^k>1,n=k+1,2^n=2^（k+1）>2>1,从而对正整数,命题成立.
2、小于1的正数的正整数次幂小于1.这个也可以用归纳证明.
3、2的正有理数次幂大于1.这个可以用反证法证明.（1）2的正有理数次幂大于0.（这个看起来显然,不过还是需要证明的）.（2）假若,存在2的某正有理数次幂小于1,则其为小于1的正数,从而它的任意次幂均小于1,而有理数在乘上一个适当的数之后就是正数,所以,这个数的某次方肯定是2的正整数次方,而这样一来,就会有2的正整数次方小于1的情况出现.这是和第1点矛盾的.所以,可以知道2的正有理数次方都是大于1的.命题推广到无理数,那不是我能够说给你懂的啦.
可见,你给出的两种证明单调性的方法都没有循环论证的问题.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
单调定义除了相减大于零，还有一个就是比是大于一的。
x1>x2,2^x1/2^x2=2^(x1-x2),因为x1-x2>0所以f(x1)/f(x2)>1所以 f(x1)>f(x2)所以它是递增函数
供参考答案2:
指数函数的单调性证明问题，
在高一阶段不应该涉及的，
确实有循环论证之嫌。
原来的老教材是这样处理的。
指数函数的性质有一条是函数值分布：
a>1,若 x0,y>1
01,若x=0,y=1,若x>0,0可以用这条性质，证明单调性，课本上的习题。
但这条性质又是怎么来的呢？
新课程教材，将函数值分布的性质也给去了。
新课标的理念是感性到理性，有具体，到抽象，
实现思维的螺旋式上升。因此，我们总是要从
图像上能够感性理解单调性就Ok了。
要解决指数函数单调性需用导数。