解答题已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．
（I）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间．
网友回答
解：（I）因为f（x）=lnx+ax-a2x2其定义域为（0，+∞），
所以
∵x=1是函数y=f（x）的极值点
∴f′（1）=0
∴1+a-2a2=0
∴或a=1
经检验，或a=1时，x=1是函数y=f（x）的极值点
（II）
若，∴函数的单调递增区间为（0，+∞）
若a≠0，令，∴
当a＞0时，函数在区间，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为
当a＜0时，函数在区间，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为解析分析：（I）由题设条件，可求出函数的导数，利用f′（1）=0建立方程求出a的值；（II）求导函数，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间．点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确求导．