填空题一只球放在桌面上,桌面上一点A的正上方有一点光源O,OA与球相切,让A在桌面上运动,OA始终与球相切,OA形成一个轴截面顶角为45°的圆锥,则点A的轨迹椭圆的离心率为________.
网友回答
解析分析:根据圆曲线的第一定义,作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面,可得等腰直角三角形AOA′,在此三角形中利用切线长定理,可以求出焦点到长轴顶点距离AF与AA′的关系式,再根据椭圆的几何性质,化为关于椭圆的参数a、c的等量关系,即可求出椭圆的离心率.解答:如图是过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面,根据圆锥曲线的定义,可得球与长轴AA′的切点是椭圆的焦点F,OA⊥AA′设光线OA与球相切于点E,OA′与球相切于点D∵等腰直角三角形AOA′中,OA=AA′=OA/∴AF=AE=(OA+AA′-OA′)=AA′-AA′=(1-)AA′根据椭圆的几何性质,得长轴AA′=2a,AF是焦点到长轴顶点的距离AF=a-c代入到上式,得a-c=(1-)?2a?所以所求椭圆的离心率为故