已知数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n?2n，记所有可能的乘积aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn．（1）求{an}的通项公式；（

网友回答

解：（1）∵数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n?2n，
∴，
当n=1时，a1=2．
当n≥2时，，
，
两式相减，得，
∴．
（2）∵aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn，
∴Tn=a1a1+（a1a2+a2a2）+（a1a3+a2a3+a3a3）+…+（a1an+a2an+a3an+…+anan）
=（23-22）+（25-23）+（27-24）+…+（22n+1-2n+1）
=-（2n+2-4）
=．
（3）∵
=
=，
∴＜=，
∵=
=
＞
=，
∴+…+＞（）+（）+…+（）
=
=＞，
∴+…+＜．

解析分析：（1）由数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n?2n，知，由迭代法能求出．（2）由aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn，知Tn=a1a1+（a1a2+a2a2）+（a1a3+a2a3+a3a3）+…+（a1an+a2an+a3an+…+anan）=（23-22）+（25-23）+…+（22n+1-2n+1），由此能求出Tn的表达式．（3）由=，知＜=，由=＞=，知+…+＞（）+（）+…+（）=＞，由此能够证明+…+＜．

点评：本题考查数列通项公式的求法和不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．