如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延长CB，使EB=AD，连接AE．（1）求证：AE=CA；（2）若CA平分∠BCD，AC⊥AB，AD=2，试求四边形AE

网友回答

（1）证明：法一：∵在梯形ABCD中，AD∥BC
∴∠BAD=∠ABE，AB=CD
∴∠BAD=∠D，
∴∠ABE=∠D．
在△AEB和△CAD中，
∴△AEB≌△CAD（SAS），
∴AE=CA．
法二：连接BD，
∵AD∥BC，EB=AD，
∴四边形ADBE为平行四边形，
∴AE=BD，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AE=AC；

（2）解：已知∠ABC=∠DCB，又AC平分∠BCD，
∴∠ABC=60°，∠ACB=30度．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC=2．
∴AB=2，
则．
∴四边形AECD的周长为．
过A作AF⊥CE于F，则AF==
∴四边形AECD的面积为=．
解析分析：（1）根据SAS可以证明△AEB≌△CAD，再根据全等三角形的对应边相等就可；
（2）根据所给的条件，可以发现30°的直角三角形ABC和等腰三角形ACD和ABE．根据它们的性质计算出每一条边，然后计算其面积和中周长．

点评：本题考查与梯形有关的问题，根据等腰梯形的性质找到边和角之间的关系，掌握全等三角形的性质和判定．