已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-3/4,0)对称,满足f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2则f(1)+f(2)+...+f(2008)的值为请注明过程
网友回答
这是一个以T=3的周期函数
f(1)=1,f(2)=1,f(3)=-2,f(4)=1,f(5)=1,f(6)=-2,……
所以f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2007)=0
f(2008)=f(1)=1
即f(1)+f(2)+...+f(2008)的值为1
原因如下因为f(x)过(-1,1)和点(0,-2),且其图象关于点(-3/4,0)对称
所以已知两点也关于点(-3/4,0)对称
对称后得到点(-1/2,-1)和点(-3/2,2)
则这两点也在函数图象上
即f(-1/2)=-1,f(-3/2)=2
将这四个函数图象上的点分别代入关系式f(x)=-f(x+3/2)
可得到f(1/2)=-1,f(1)=1,f(3/2)=2
再一次代入关系式
可得到f(2)=1,f(3)=-2
经过验算可以发现
f(1)=f(4)=f(7)=……=f(3n-2)=1
f(2)=f(5)=f(8)=……=f(3n-1)=1
f(3)=f(6)=f(9)=……=f(3n)=-2
其中n为正整数
所以得到此函数是一个以3为周期的周期函数
f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2007)刚好有669个周期,而加和为0
所以f(1)+f(2)+...+f(2008)的值=f(2008)=f(1)=1