锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心．设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂．求证：1?d垂+2?d外=3?d重．

网友回答

证明：设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C．
易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，
∴2d外=2（cosA+cosB+cosC）．①
∵AH1=sinB?AB=sinB?（2sinC）=2sinB?sinC，
同样可得BH2=2sinC?sinA，CH3=2sinA?sinB．
∴3d重=△ABC三条高的和=2?（sinB?sinC+sinC?sinA+sinA?sinB） ②，
∴=2，
∴HH1=cosC?BH=2?cosB?cosC．
同样可得HH2，HH3．
∴d垂=HH1+HH2+HH3=2（cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB） ③，
∴①+③，得1?d垂+2?d外=2（cosA+cosB+cosC）+2（cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB），
=2（cosA+cosB+cosC+cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB），
观察①、②、③，可得（cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB）+（cosA+cosB+cosC）=sinB?sinC+sinC?sinA+sinA?sinB．
则1?d垂+2?d外=3?d重．
解析分析：设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C．如图，OO1、OO2、OO3分别是O到三边的距离，利用圆心角和圆周角的关系可以得到d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC；又AH1=sinB?AB，而根据正弦定理知道，由此可以得到AH1=sinB?AB=sinB?（2sinC）=2sinB?sinC，接着可以得到3d重=△ABC三条高的和=2?（sinB?sinC+sinC?sinA+sinA?sinB），而，所以=2；由此可知HH1=cosC?BH=2?cosB?cosC，d垂=HH1+HH2+HH3=2（cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB），最后代入1?d垂+2?d外=3?d重．即可证明结论．

点评：本题主要考查了正弦定理与余弦定理、三角形外接圆与外心，难度较大．