直三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AC=AA1=3a,BC=2a,D是BC的中点,F是C1C上一点,且CF=2a.
(1)求证:B1F⊥平面ADF;
(2)求平面ADF与平面AA1B1B所成锐二面角的余弦值.
网友回答
(1)证明:以D为坐标原点,DA、DB、DD1分别为
x、y、z轴建立空间直角坐标系(D1是C1B1的中点),则A(2a,0,0),B(0,a,0),F(0,-a,2a),B1(0,a,3a),(4分)
,,,
由且,得B1F⊥DF,B1F⊥DA,
∵DF∩DA=D
∴B1F⊥平面ADF;(6分)
(2)由(1)知,,
设平面AA1B1B的一个法向量为,
则且,可取,(8分)
由cos<,>==-
即所求二面角的余弦值是.(13分)
解析分析:(1)以D为坐标原点,DA、DB、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(D1是C1B1的中点),建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,证明且,即可证得B1F⊥平面ADF;(2)求得平面AA1B1B的一个法向量,利用cos<,>=,即可求得二面角的余弦值.
点评:本题考查线面垂直,考查面面角,解题的关键是建立空间直角坐标系,利用向量方法解决立体几何问题,属于中档题.