发布时间：2021-02-18 10:37:15
（本小题满分14分）已知函数f(x)=aex，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a为常数，e为自然对数底），函数y =f(x)在A(0，a)处的切线与y =g(x)在B(0，lna)处的切线互相垂直.
(Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；
(Ⅱ) 求证：对任意n ÎN*， f(n)+g(n)>2n；
(Ⅲ) 设y =g(x-1)的图象为C1，h(x)=-x2+bx的图象为C2，若C1与C2相交于P、Q，过PQ中点垂直于x轴的直线分别交C1、C2于M、N，问是否存在实数b，使得C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？说明你的理由.
解：(Ⅰ) f ′ (x)=aex, f ′ (0)=a, g ′ (x)=-，g ′ (0)=-1，……………………2分
由已知a·(-1)=-1，∴ a=1，
∴ f(x)=ex(x ÎR)，g (x)=-ln(x+1)，(x>-1). ………………………………4分
(Ⅱ) 证明：令F(x)=f(x)+g(x)-2x =ex-ln(x+1)-2x，(x³1)，
则F ′ (x)= ex--2³ F ′ (1)= e->0，∴F(x)在上递增，………………6分
n ÎN*Ü，∴F(n) ³ F (1)>0，即 f(n)+g(n)>2n. ……………………………8分
(Ⅲ) 答：不存在。
设P(x1，y1)，P(x2，y2)，（0<x1<x2）则M、N的横坐标都是，
且-lnx1=-x12+ax1，-lnx2=-x22+ax2，
f ¢ (x-1)=， h¢ (x)=- 2x+a，
C1在M处的切线斜率为kM=，C2在N处的切线斜率为kN =-( x1+ x2)+a，
令kM =kN，得=-( x1+ x2)+a， …………………………………………10分
，
∴，令 t=>1，得=0，……①………12分
设p(t)= (t>1) ， p ′(t)=，
∴ p(t)=在区间(1，+∞)递增，∴p(t)> p(1)=0，与①矛盾，
∴不存在a，使得C1在M处的切线与C2在N处的切线平行.……………………14分