对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．
（1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+2=an+1-an，且S2=1007，S3=2010，求证：数列{an}是以6为周期的周期数列，并求S2009；
（2）若{an}满足，且an+1=-2an2+2an，试判断{an}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{an}，又设数列{bn}，其中，问是否存在最小的自然数n（n∈N*），使得对一切自然数m≥n，都有bm＞2009？请说明理由．
网友回答
解：（1）an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4
=-an+3=-an+2+an+1=-（an+1-an）+an+1=an，
得T=6
所以，数列{an}是以6为周期的周期数列，
周期为任意正整数
又由 ，
得a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003S6=0，
且数列{an}是以6为周期的周期数列，
所以，S6n=0，
所以 S2009=S5=a3=1003
（2）当p=0时，a1=a2=0，an+1=-2an2+2an=0，
即{an}是周期数列
当p≠0，时，
由已知，
且an+1=-2an2+2an，
可得，
依此类推可得（n∈N*）
所以 an+1-an=-2an2+an=an（1-2an）＞0，所以an+1＞an
即数列{an}是递增数列，非周期数列；
（3）由（1）知，S2=a1+a2=a1+1005=1007，
所以a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003，
且数列{an}是周期为6的周期数列，
所以（an）max=1005（n∈N*），（an）min=-1005，
且 a6n+1=2，a6n+2=1003，a6n+3=1005，a6n+4=-2，
a6n+5=-1005，a6n+6=-1003，
而当n≥12时，，
，
即2n≥2009+1005=3014，
得n≥1507，即 n≥1507时，
都有bn＞2009；
又
综上，存在最小的自然数n=1506，
对一切自然数m，当m≥n=1506，
都有bm＞2009．
解析分析：（1）an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4=-an+3=-an+2+an+1=-（an+1-an）+an+1=an，得T=6，由此能求出 S2009=S5=a3=1003．
（2）当p=0时，a1=a2=0，an+1=-2an2+2an=0，即{an}是周期数列，由此能推导出数列{an}是递增数列，非周期数列．
（3）由S2=a1+a2=a1+1005=1007，知a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003，且数列{an}是周期为6的周期数列，由此能推导出存在最小的自然数n=1506，对一切自然数m，当m≥n=1506，都有bm＞2009．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐条件，合理地进行等价转化．