已知α为锐角，且，函数，数列{an}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：an+1＞an；（3）求证：．

网友回答

解：（1），
又∵α为锐角，所以2α=，
∴，
则f（x）=x2+x；
（2）∵an+1=f（an）=an2+an，
∴an+1-an=an2＞0，
∴an+1＞an；
（3）∵，且a1=，
∴，
则
=，
∵，，
又n≥2时，∴an+1＞an，
∴an+1≥a3＞1，
∴，
∴．
解析分析：（1）根据二倍角的正切函数公式，由tanα的值求出tan2α的值，根据特殊角的三角函数值以及α的范围即可求出2α的值，即可求出sin（2α+）的值，把求出的tan2α和sin2α的值代入f（x）中即可确定出f（x）；（2）an+1=f（an），把an代入（1）中求出的f（x）的解析式，移项后，根据an2大于0，即可得证；（3）把an代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，求出，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到，移项后得到，然后从n=1列举到n，抵消后得到所要证明的式子等于2-，根据题意分别求出a2和a3的值，根据（2）所证明的结论即可得证．

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题．