解答题已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，求f（x）在[-1，1]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围．
网友回答
解：（I）∵f'（x）=-3x2+2ax（1分），由已知f′（x）=tan=1，即-3+2a=1（2分），∴a=2（3分）；?…（3分）
此时，知f（x）=-x3+2x2-4（4分），f′（x）=-3x2+4x=-3x（x-）（5分），x∈[-1，1]时，如下表：
…．（6分）
∴x∈[-1，1]时，f（x）最小值为f（0）=-4，…（7分）
（II）∵f′（x）=-3x（x-），（1）若a≤0，
当x＞0时，f′（x）＜0，从而f（x）在（0，+∞）上是减函数，
又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴当a≤0时，不存在x0＞0使f（x0）＞0（11分）；
（2）若a＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0．当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，]上单增，在[，+∞）单减；∴x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（ ）=-4（12分），
由已知，必须-4＞0
∴a3＞27，a＞3?…（13分）
综上，a的取值范围是（3，+∞）．解析分析：（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解出a，再求出f′（x）=0，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调性，进而来确定极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最值．（II）存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，即f（x）在（0，+∞）上的最大值大于0，故先求导，然后分a＞0和a≤0两种情况分别讨论f（x）在（0，+∞）上的最大值情况即可．点评：本题考查了导数的运算，导数的几何意义，利用导数求函数的最值等知识点，涉及了分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．