如图，在△ABC中，AC=BC，E是内心，AE延长线交△ABC外接圆于D，以下四个结论中正确的个数是①BE=AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④．A.1个B

网友回答

D
解析分析：根据E是内心，可得出∠CAD=∠BAD，则点D为弧BC的中点，又由AC=BC，得CE⊥AB；则延长BE交圆于一点也一定是弧AC的中点，则BE=AE；根据同弧所对的圆周角相等，得出三角形DEB与ABC三个角分别对应相等．则三角形DEB与ABC相似，从而得出第4个结论正确．

解答：∵E是内心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，点D为弧BC的中点，∵AC=BC，且CE为∠ACB的平分线，∴CE⊥AB（三线合一），选项②正确；∵AC=BC，∠ACE=∠BCE，AE=AE，∴△ACE≌△BCE，（SAS）∴∠CAE=∠CBE，∴BE=AE，选项①正确；∵∠CAD=∠BAD，∴=，∴∠DBC=∠DAB，∴∠EAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，即∠DEB=∠DBE，∴DE=DB，∴△DEB是等腰三角形，选项③正确；∵△ABC和△BED都为等腰三角形，且两顶角∠ACB=∠EDB，∴△ABC∽△BED，∴=，∴=，∵DE=DB，BE=AE，∴，选项④正确，∴正确结论有4个．故选D．

点评：本题考查了三角形的内心，等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．