设F1.F2分别为椭圆C:+＝1的左.右两个焦点． (1)若椭圆C上的点A(1.)到F1.

　　分析：由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质，用斜率公式及双曲线方程即可得证．

　　解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2．

　　又点A(1，)在椭圆上，因此＋＝1，b2＝3．

　　∴c2＝a2－b2＝1．

　　∴椭圆C的方程为＋＝1，焦点F1(－1，0)，F2(1，0)．

　　(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足x＝，y＝，

　　∴x1＝2x＋1，y1＝2y．

　　∴＋＝1，即(x＋)2＋＝1为所求的轨迹方程．

　　(3)类似的性质为：若M、N是双曲线＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中＝1．

　　又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝，

　　kPN＝，得kPM·kPN＝·＝．

　　将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2，代入得kPM·kPN＝．

类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视．有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质．类比是研究圆锥曲线的一种方法．