发布时间：2021-02-18 11:35:12
设F1、F2分别为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线＝1具有类似特性的性质并加以证明．
解：(1)椭圆C的焦点在x轴上．由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2． 又点A(1，)在椭圆上，因此＝1，b2＝3． ∴c2＝a2－b2＝1． ∴椭圆C的方程为＝1，焦点F1(－1，0)，F2(1，0)． (2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：x＝，y＝， ∴x1＝2x＋1，y1＝2y． ∴＝1，即(x＋)2＋＝1为所求的轨迹方程． (3)类似的性质为：若M\，N是双曲线＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中＝1． 又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝， kPN＝得kPM·kPN ＝． 将y2＝，n2＝m2－b2代入，得kPM·kPN＝．(定值)． |