设F1.F2分别为椭圆C:+＝1的左.右两个焦点． (1) 若椭圆C上的点A(1.)到F1

(1)

　　解析：椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2．

　　又点A(1，)在椭圆上，因此＋＝1，得b2＝3，于是c2＝1．

　　所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．

(2)

　　设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y．

　　因此＋＝1，即(x＋)2＋＝1为所求的轨迹方程．

(3)

　　类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．

　　设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中－＝1．

　　又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝，kPN＝，得kPM·kPN＝·＝，将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得kPM·kPN＝．

　　点评：本题主要考查椭圆的基本知识及求动点轨迹方程的常用方法．第(3)问对考生的联想、类比、逻辑思维及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向．应引起注意．