如图，AB为⊙O的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，IN⊥BP于N，下列结论：①∠APM=45°；②；③∠BIM=

网友回答

C
解析分析：①连接OM．根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行解答；②连接AM、BM．根据三角形PIB的外角定理、三角形的内心的定义证得△MBI的两边MB=IM；根据勾股定理求得AB=MB．易证该结论；③利用反证法证明；④根据直角三角形内切圆半径公式、圆的半径与直径是数量关系求得IN+OB=（AP+BP）；然后借助折弦定理证得结论．

解答：解：①如图，连接OM．∵点M是半圆的中点，∴∠AOM=90°．又∠APM=∠AOM，∴∠APM=45°；故本选项正确；②连接AM、BM．∵点M是半圆的中点，∴AM=BM，∴AB=MB．设∠ABI=α，则∠MIB=45°+∠PBI=45°+α=∠MBI，∴MB=IM．∴AB=IM；故本选项正确；③设∠PBA=β．∵点I为△ABP的内心，∴PI、BI分别是∠APB、∠ABP的角平分线，∴∠PIB=∠PIN+（90°-β）=135°-β．若∠BIM=∠BAP，则有∠BIM+∠PIB=∠BAP+∠PIM=90°-β+135°-β=180°，∴β=30°．∵P点是圆上一动点，∴不能保证∠PBA=30°；∴∠BIM与∠BAP不一定相等．故本选项错误；④根据直角三角形内切圆半径公式知，IN=，则IN+OB=（AP+BP），折弦求和得，AP+BP=PM，∴；故本选项正确；综上所述，正确的结论有3个．故选C．

点评：本题考查了圆的综合题．本题涉及到的知识点有：圆周角定理，直角三角形的内切圆半径公式，三角形的内切圆的性质以及等腰三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大．