解答题设定义在[x1，x2]上的函数y=f?（x）的图象为C，C的端点为A，B，P?（x，y）为C上任意一点，若=（x1，y1），=（x2，y2），且x=λx1+（1-λ）x2；记=λ+（1-λ），现定义“当（k为正的常数）恒成立时，称函数y=f?（x）在[x1，x2]上可在标准k下线性近似”．
（1）证明：0≤λ≤1；
（2）请给出一个标准k的范围，使得在[0，1]上的函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似．
网友回答
（1）证明：由题意，x1≤x≤x2，∴x1≤λx1+（1-λ）x2≤x2，∴x1-x2≤λ（x1-x2）≤0．
∵x1-x2＜0，∴0≤λ≤1；
（2）解：∵=λ+（1-λ），∴，∴
∴B、M、A三点在一条直线上．
又由（1）的结论，M在线段AB上，且与点P的横坐标相同．
对于[0，1]上的函数y=x2，A（0，0），B（1，1），
则有P（x，x2），M（x，x），∴=x-x2∈[0，]；
同理对于[0，1]上的函数y=x3，=x-x3，
令g（x）=x-x3，则g′（x）=1-3x2，
∵x∈（0，）时，g′（x）＞0；x∈（，1）时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，）上单调递增；在（，1）上单调递减
∴g（x）在x=处取得最大值，而g（0）=g（1）=0，∴∈[0，]
∵
∴k∈时，函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似．解析分析：（1）据区间的左端点小于等于右端点，列出x1≤x≤x2，将x的值代入解不等式，即可证得结论；（2）对于y=x2与y=x3分别求出M，P两点的距离的最大值，利用题目中的定义求出k的范围即可．点评：本题考查新定义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查向量知识的运用，属于中档题．