解答题过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=-a作垂线，垂足分别为M1、N1．
（Ⅰ）当a=时，求证：AM1⊥AN1；
?（Ⅱ）记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立？若存在，求出λ的值，否则说明理由．
网友回答
解：依题意，可设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（-a，y1），N1（-a，y2）．
将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2-2mpy-2ap=0????
从而有y1+y2=2mp，y1y2=-2ap??????????????????????????????????????????????????????????①
于是x1+x2=m（y1+y2）+2a=2（m2p+a）????????????????????????????????????②
又由y12=2px1，y22=2px2可得x1x2===a2????????③
（Ⅰ）证：如图，当a=时，点A（，0）即为抛物线的焦点，
l为其准线，其方程为x=-
此时M1（-，y1），N1（-，y2）．并由?①可得y1y2=-p2
∵，
∴=0，故有?AM1⊥AN1；
?（Ⅱ）存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，证明如下：
证：记直线l与x轴的交点为A1，则|OA|=|OA1|=a．
于是有S1=|MM1||A1M1|=（x1+a）|y1|，S2=|M1N1||AA1|=a|y1-y2|，S3=|NN1||A1N1|=（x2+a）|y2|，
∴S22=4S1S3?（a|y1-y2|））2=（（x1+a）|y1|）2 ×（（x2+a）|y2|）2 ?a2[（y1+y2）2-4y1y2]=[x1x2+a（x1+x2）+a2]|y1y2|
将①、②、③代入上式化简可得
a2（4m2p2+8ap）=4a2p（m2p+2a）上式恒成立，即对任意的a＞0，S22=4S1S3成立解析分析：（Ⅰ） 由题意，可设设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（-a，y1），N1（-a，y2）．将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2-2mpy-2ap=0利用根与系数的关系及点A（a，0）得出即可证明出结论；（Ⅱ）假设存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，分别表示出三个三角形的面积，代入验证即可证明出结论点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查了根与系数的关系，三角形的面积公式，抛物线的性质等，解题的关键是认真审题准确转化题设中的关系，本题综合性强，符号计算运算量大，解题时要认真严谨避免马虎出错．