解答题设函数f（x）对任意实数x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞

网友回答

解：（1）令x=y=0，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，
所以f（-x）=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2-x1）=f[x2+（-x1）]=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），
由x＞0时，f（x）＜0，且x2-x1＞0，
所以f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，
所以f（x2）＜f（x1），
故f（x）为减函数；
（3）不等式可变为f（bx2）-f（b2x）＞f（x）-f（b）=f（x-b），
?f（bx2-b2x）＞f（2x-2b），
由（2）知f（x）单调递减，
所以bx2-b2x＜2x-2b，即bx2-（b2+2）x+2b＜0，
当b=0时，原不等式解集（0，+∞）；
当时，原不等式解集；
当时，原不等式解集；
当时，原不等式解集；
当时，原不等式解集；解析分析：（1）利用定义：令x=y=0，可求得f（0），令y=-x，可得f（x）与f（-x）的关系，由奇偶性的定义即可作出判断；（2）任取x1，x2，且x1＜x2，由x＞0时，f（x）＜0可判断f（x2-x1）的符号，从而可得f（x2）与f（x1）的大小关系，由单调性定义即可作出判断；（3）利用函数的奇偶性、单调性可把不等式转化为具体二次不等式，由b2≠2分类讨论即可解得；点评：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性的判断，考查抽象不等式的求解，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．