已知椭圆x^2／a^2+y^2／b^2=1,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,当椭圆上存在...已知椭圆x^2／a^2+y^2／b^2=1,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,当椭圆上存在点P使三角形pF1F2的三边构成等差数列求离心率的范围
网友回答
根据对称性可知这样的P如果存在于某一象限内,那么四个象限肯定都有
不妨假设P点在第二象限,即|PF1|＜|PF2|
∵|PF1|+|PF2|=2a,设|PF1|=m,P(x,y),-a＜x＜0
∴|PF2|=2a-m
∴m＜2a-m,即m＜a
根据焦半径公式|PF1|=m=a+ex
①△PF1F2中,|F1F2|=2c为最大边
则|F1F2|+|PF1|=2|PF2|
即2c+m=2(2a-m)
得4a-2c=3m=3(a+ex)
x=(a-2c)/(3e)
∵-a＜x＜0
∴-a＜(a-2c)/(3e)＜0
解得1/2＜e＜1
②△PF1F2中,|F1F2|=2c为最小边
则|F1F2|+|PF2|=2|PF1|
即2c+2a-m=2m
2c+2a=3m=3(a+ex)
x=(2c-a)/(3e)
∵-a＜x＜0
∴-a＜(2c-a)/(3e)＜0
解得1/5＜e＜1/2
③△PF1F2中,|F1F2|=2c为中间(不是最大边,也不是最小边)
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c
又|PF1|+|PF2|=2a
∴2a=4c
即e=1/2 (此时△PF1F2为等边三角形)
综上1/5＜e＜1
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
三条边分别是2c,x(设为x)，2a-x.分情况讨论，三条边哪条边最长（都可能有），利用公式a+b=2c将原来设好的式子代进去，得到一个关于x的等式，然后由x的取值范围，得到一个不等式，解出答案