如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求二面角B-DC1-C的余弦值．

网友回答

解：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC1⊥BC…（2分）
又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC…（3分）
∵AC∩CC1=C，AC、CC1?平面ACC1A1
∴BC⊥平面ACC1A1
∵D1C?平面平面ACC1A1，∴DC1⊥BC；…（5分）
（II）∵AC=BC=AA1，∴令AC=a，Rt△ACD中，CD==
同理可得C1D=，结合CC1=2a得CD2+C1D2=CC12
∴△CC1D是以CC1为斜边的直角三角形，即CD⊥C1D…（8分）
∵BC⊥平面ACC1A1，C1D?平面ACC1A1，∴BC⊥C1D
∵BC、CD是平面BCD内的相交直线，∴C1D⊥平面BCD…（11分）
∵BD?平面BCD，∴C1D⊥BD
因此，∠BDC就是二面角B-DC1-C的平面角…（13分）
Rt△BDC中，DC=，BC=a，BD=
∴cos∠BDC==，即二面角B-DC1-C的余弦值等于…（15分）
解析分析：（1）根据直三棱柱的性质，得CC1⊥BC，结合BC⊥AC且AC、CC1是平面ACC1A1内的相交直线，可得BC⊥平面ACC1A1，进而得到DC1⊥BC；（2）根据勾股定理的逆定理，得CD⊥C1D，结合BC⊥C1D可证出C1D⊥平面BCD，从而C1D⊥BD，得∠BDC就是二面角B-DC1-C的平面角，最后利用直角三角形中余弦的定义，可得cos∠BDC=，即为二面角B-DC1-C的余弦值．

点评：本题在特殊的三棱柱中证明两条直线互相垂直，并求二面角的余弦之值，着重考查了空间垂直位置关系的证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．