在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．
①若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，则=________（用含有α的式子表示）；
②固定△AOB，将△COD绕点O旋转，PM最大值为________．
网友回答
2sinα
解析分析：（1）连接BM、CN，则BM⊥OA，CN⊥OD，由四点共圆的判定知点B、C、M、N在以BC为直径的圆，且有MP=PN=BC÷2，而MN是△AOD的中位线，有MN等于AD的一半，故AD：BC=MN：PM，而可求得△PMN∽△BAO，有MN：PN=AO：AB=2sinα，从而求得AD：BC的值；（2）当DC∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值，由梯形的中位线的公式可求解．
解答：解：连接BM、CN，由题意知BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α，∵A、O、C三点在同一直线上，∴B、O、D三点也在同一直线上，∴∠BMC=∠CNB=90°，∵P为BC中点，∴在Rt△BMC中，PM=BC，在Rt△BNC中，PN=BC，∴PM=PN，∴B、C、N、M四点都在以点P为圆心，BC为半径的圆上，∴∠MPN=2∠MBN，又∵∠MBN=∠ABO=α，∴∠MPN=∠ABO，∴△PMN∽△BAO，∴，由题意知MN=AD，PM=BC，∴，∴，在Rt△BMA中，=sinα，∵AO=2AM，∴=2sinα，∴=2sinα；（2）当DC∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值．PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=．
点评：本题利用了相似三角形的性质和等腰三角形的性质：三线合一、四点共圆的判定、正弦的概念、梯形的中位线的性质求解