柯西不等式的题目,不懂啊,已知a,b,c是互不相等的正数,求证9/(a+b+c)

网友回答

已知a b c是互不相等的正数 求证
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
证明 如果了解柯西不等式,那么很简单
(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c).
附证 设2x=a+b,2y=b+c,2z=c+a,则所证不等式等价于
1/x+1/y+1/z>9/(x+y+z)
(x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z>9 y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6 (y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(y/z+z/y)>6.因为 y/x+x/y>2,z/x+x/z>2,y/z+z/y>2.所以上式显然成立.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立