已知A为锐角△ABC的一个内角,满足2sin2(A+)-cos2A=.(I)求角A的大小;(II)若BC边上的中线长为3,求△ABC面积的最大值.

发布时间:2020-07-31 13:12:23

已知A为锐角△ABC的一个内角,满足2sin2(A+)-cos2A=.
(I)求角A的大小;
(II)若BC边上的中线长为3,求△ABC面积的最大值.

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(本题满分14分)
解:(I)2sin2(A+)-cos2A=1-cos(2A+)-cos2A
=1+sin2A-cos2A=1+2(sin2A-cos2A)
=1+2sin(2A-)=1+,
∴sin(2A-)=,(4分)
∵A∈(0,),2A-∈(-,),
∴2A-=,解得A=;(7分)
(II)根据题意画出图形,如图所示:

延长AD到点E,使DE=AD=3,又AD为中线,可得BD=CD,
∴四边形ABEC为平行四边形,
∴AC∥BE,BE=AC=b,
又A=,
∴∠BAC+∠ABE=π,即∠ABE=π-∠BAC=,
在△ABE中,根据余弦定理得:62=b2+c2-2bccos∠ABE=b2+c2+bc,
又b2+c2≥2bc,
∴bc≤=12,(11分)
∴S△ABC=bcsin∠BAC=bc≤3,当且仅当b=c=2时取等号,
则△ABC面积的最大值为3.(14分)
解析分析:(I)把已知的等式的左边第一项利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用诱导公式变形后,根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,可得出sin(2A-)的值,由A为锐角,得到2A-的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数;(II)根据题意画出相应的图形,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE,根据对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABEC为平行四边形,可得出对边AC与BE平行,根据两直线平行同旁内角互补可得出∠ABE与∠BAC互补,由∠BAC的度数表示出∠ABE的度数,在三角形ABE中,由余弦定理得到AE2=b2+c2-2bccos∠ABE,将AE及表示出的∠ABE的度数代入,整理后再利用基本不等式变形,求出bc的最大值,然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,将∠BAC的度数及bc的最大值代入即可求出面积的最大值.

点评:此题考查了余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的正弦函数公式,二倍角的余弦函数公式,诱导公式,基本不等式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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