平行线分线段成比例定理对应线段怎么理解,十个具有相当难度的八年级奥数题【关于平行线等分线段定理，其实
网友回答
设三条平行线与直线 m 交于 A、B、C 三点，与直线 n 交于 D、E、F 三点。
连结AE、BD、BF、CE
根据平行线的性质可得 S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF，
∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
根据同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。
由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。
扩展资料
两直线a、b被三条平行线所截如图所示，如果相邻平行线的距离不相等，则AB≠BC， 不妨设AB:BC=m:n，将AB进行m等分，将线段BC进行n等分如图
P1,P2,……Pm-1是AB的m等分点，
Q1，Q2，……Qn-1是BC的n等分点，
由于AB:BC=m:n,
则AP1=P1P2=……Pm-1B=BQ1=Q1Q2=……Qn-1C,
过P1,P2,……Pm-1，Q1，Q2，……Qn-1分别作这组平行线的平行线，交b于P’1,P’2,……P’m-1，Q’1，Q’2，……Q’n-1,
根据平行线等分线段定理，如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
则DP’1=P’1P’2=……P’m-1E=E’Q1=Q’1Q’2=……Q’n-1F,
则DE=m DP’1,EF=n E’Q1,
则DE：EF= m:n.
所以AB:BC=DE：EF
于是结论得证。
参考资料来源：百度百科-平行线分线段成比例定理
网友回答
楼上匿名的兄弟说得很有道理，不过作为一个奥数的老兵，偶还是忍不住手痒做了一下，嘿嘿。楼主小兄弟要好好加油啊！只是想不到现在奥数还那么热啊……以下主要用到平行四边形的基本性质和角平分线定理（若AD平分角BAC，交BC于D，则AB/AC=BD/BC。证明也是用中位线的。）
I 过D作AC的平行线，过C作AD的平行线，二者相交于G，延长EF交DG于H。则ACGD是平行四边形，从而对角线AG与CD互相平分，于是A、F、G三点共线且EF是三角形ABG的中位线。这样，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB，得到角DMH=角DHM。又因为DG平行于AC，角DHM=角ONM，而角DMH与角OMN是对顶角，从而角ONM=角OMN，得到OM=ON。
II 由中位线性质可知，EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ。设EF交PQ于O，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且ON=1/2（CP）。另外，FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2（CP）。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分MN，也即EF平分MN。
III 将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K。则角IKE=角CFE，从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此时由于AI=CD=AB，角AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。
IV 由EH=HN知NF=DE=1/2（BC），于是CF=NF-NC=1/2（BC）-（BC-BN）=BN-1/2（BC）=1/2（BM）-1/2（BC）=1/2（BM-BC）=1/2（CM）。从而CF=FM=1/2（CM）。
VI 作B的角平分线，交AC于F。则AB/BC=AF/FC。此时角FBC=角C，于是BFC是等腰三角形。由于E是BC中点，FE垂直于BC，从而FE平行于AD。则AB/BC=AF/FC=DE/EC=DE/（1/2（BC））消去BC，得AB=2DE。
VI 过A分别作BC与EF的平行线，交CD于G、H。则由角D与角C互余可知，DAG是直角三角形。此时ABCG与AEFH均为平行四边形，故GC=AB，HF=AE，AH=EF。则DH=DF-HF=DF-AE=1/2（DC-AB），DG=DC-GC=DC-AB。于是AH是直角三角形DAG的中线，从而EF=AH=1/2（DG）=1/2（DC-AB）。
VII 利用III的结果，延长NM交CA于F，交BA于G。则角AFG=角DGM。但是角DGM=角FGA。于是角BAC=角FGA+角AFG=2 角AFG。从而角HAC=角AFN=1/2（角BAC），于是AH平行于FN，即MN平行于AH。
VIII 本题的叙述有误，应为“AE⊥BM，AF⊥CN”。延长AE，AF分别交BC于G、H。则GBA与HCA均为等腰三角形，BE与CF分别为顶角的角平分线，从而也为底边的中线。这时EF为三角形AGH的中位线，从而EF平行于GH，也即BC。
IX 设BD交CE于O。显然角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线，即BO=OM。此时由于MF平行于CE，可知OE为三角形BMF的中位线，于是BE=EF。
X 以数字标记的角的位置？
楼主关于III的解法很漂亮！至于IX，注意到角BCM是直角，于是从“角OBC=角OCB”可以推出角OCM=角OMC，这样OCB和OCM都是等腰三角形，就有BO=OM了。