如图,点M是正方形ABCD的边AB的中点,连接DM,将三角形ADM沿DM翻折得到三角形A`DM,延长

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∵AB∥DC,
∴∠EDM=∠AMD=∠DME,
∴EM=ED
设AD=A′D=4k,则A′M=AM=2k,
∴DE=EA′+2k．
在Rt△DA′E中,A′D2+A′E2=DE2,
∴（4k）2+A′E2=（EA′+2k）2,
解得A′E=3k,
A′D：A′E=4/3．
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
设AD为1，则AM为0.5
由三角形性质得MD为5/4
由题得AM=MA`=0.5
所以DA`=25/16-1/4=21/16
三角形DME为等边三角形，所以ME=5/4
所以A`E=5/8
供参考答案2:
设∠ADM=∠A'DM=a tan a=0.5
∠ADA'的正切值tan 2a=2tan a/（1-tan² a ）=4/3
∠A'DE+∠ADA'=90º，设∠A'DE=b
所以cotb=tan（π/2-b）=tan a=4/3
即A`D：A`E=4:3
题外话，告诉你一个重要的点，即BC与ME的交点，这个点是BC的三等分点，经常有人出题说如何徒手将一张正方形纸三等分，就如这道题的图片所示，方法就按照图片所示就可以了，相比较你的问题，我觉得这个拓展更重要，如果你有兴趣，可以证明为什么那个点会是BC的三等分点
供参考答案3:
∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED
设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，
∴DE=EA′+2k．
在Rt△DA′E中，A′D2+A′E2=DE2，
∴（4k）2+A′E2=（EA′+2k）2，
解得A′E=3k，
A′D：A′E=4/3．