解答题已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,已知,且对于任意的n∈N+有Sn,

发布时间:2020-07-09 01:24:54

解答题已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,已知,且对于任意的n∈N+有Sn,Sn+2,Sn+1成等差;
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)已知bn=n(n∈N+),记,若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于n≥2恒成立,求实数m的范围.

网友回答

解:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,
∵对于任意的n∈N+有Sn,Sn+2,Sn+1成等差,
∴2.
整理得:.
∵a1≠0,∴,2+2q+2q2=2+q.
∴2q2+q=0,又q≠0,∴q=.
又,
把q=代入后可得.
所以,;
(Ⅱ)∵bn=n,,∴,
∴.

∴=
∴.
若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于n≥2恒成立,
则(n-1)2≤m[(n-1)?2n+1+2-n-1]对于n≥2恒成立,
也就是(n-1)2≤m(n-1)?(2n+1-1)对于n≥2恒成立,
∴m≥对于n≥2恒成立,
令,
∵=
∴f(n)为减函数,∴f(n)≤f(2)=.
∴m.
所以,(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于n≥2恒成立的实数m的范围是[).解析分析:(Ⅰ)设出等比数列的公比,利用对于任意的n∈N+有Sn,Sn+2,Sn+1成等差得2S3=S1+S2,代入首项和公比后即可求得公比,再由已知,代入公比后可求得首项,则数列{an}的通项公式可求;(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的an和已知bn=n代入整理,然后利用错位相减法求Tn,把Tn代入(n-1)2≤m(Tn-n-1)后分离变量m,使问题转化为求函数的最大值问题,分析函数的单调性时可用作差法.点评:本题考查了等比数列的通项公式,考查了错位相减法求数列的前n项和,考查了数列的函数特性,训练了利用分离变量法求参数的取值范围,解答此题的关键在于判断分离变量后的函数的单调性,利用了比较大小的基本方法-作差法.此题属中高档题.
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