以F1,F2为焦点的椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0),斜率为k的直线L过左焦点F1且与椭圆的焦点为A,B以F1,F2为焦点的椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0),斜率为k的直线L过左焦点F1且与椭圆的交点为A,B,与y轴的交点为M,又B为线段F1M的中点,若|K|≤√14/2,求椭圆离心率的取值范围.
网友回答
左焦点F1(-c,0),设过左焦点的直线为y=k(x+c)
x=0 => y=kc => M=M(0,kc)
B为F1M中点,则B=B(-c/2,kc/2)
B在椭圆上,则 (-c/2)^2/a^2+(kc/2)^2/b^2=1
1/4*c^2/a^2+k^2/4*c^2/b^2=1
1/4*c^2/a^2+k^2/4*c^2/(a^2-c^2)=1
e=c/a => e^2+k^2*e^2/(1-e^2)=4
=> k^2=(4-e^2)(1-e^2)/e^2
|k|≤√14/2 => k^2=(4-e^2)(1-e^2)/e^2≤14/4
=> 2(4-5e^2+e^4)≤7e^2
=> 2e^4-17e^2+8≤0
解得1/2≤e^2≤8
∵对于椭圆有0