发布时间:2021-02-18 07:30:50
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)k是偶数时,正项数列{an}满足a1=1,f′(an)=,求an的通项公式;
(Ⅲ)k是奇数,x>0,n∈N*时,求证:[f′(x)]n-2n-1·f′(xn)≥2n(2n-2).
答案:解:(Ⅰ)由已知得x>0,而f′(x)=2x-(-1)k·.
当k是奇数时,则f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当k是偶数时,则f′(x)=2x,
所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.
故当k是偶数时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
(Ⅱ)由已知得2an,
所以{}是以2为首项,公比为2的等比数列,
故an=.
(Ⅲ)由已知得f′(x)=2x+(x>0),
所以左边[f′(x)]n-2n-1·f′(xn)=(2x+)n-2n-1·(2xn+)
=2n()
右倒序相加法得:2S=(xn-2+)+(xn-4+)+…+(+xn-2)
≥2()=2(2n-2),
所以S≥(2n-2).
所以[f′(x)]n-2n-1·f′(xn)≥2n(2n-2)成立.