已知函数f（x）=2x+1定义在R上．
（1）若存在，使得f（x）+f（-x）=a成立，求实数a的取值范围；
（2）若可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（3）若对任意x∈[1，2]都有p（t）≥m2-m-1成立，求实数m的取值范围．
网友回答
解：（1）依题意有a=2x+1+2-x+1，
即关于x的方程有解．…（2分）
而，当且仅当，即x=0时等号成立，故实数a的取值范围是[4，+∞）．（4分）
（2）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）为偶函数，h（x） 为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②得，（5分）
∵f（x）定义在R上，
∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵，．∴满足g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，
又∵f（x）=2x+1，
∴．（7分）
由，则t∈R，平方，
得，∴，
故p（t）=t2+2mt+m2-m+1．（9分）
（3）∵t=h（x）在x∈[1，2]上是增函数，（10分）
∴．（12分）
∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于恒成立，
∴对于恒成立（14分）
令，则，
当且仅当时等号成立，而，
∴函数在上是减函数，
∴，故．（16分）
解析分析：（1）若存在x，使得f（x）+f（-x）=a成立，由方程思想，转化成方程f（x）+f（-x）=a有解．（2）假设f（x）=g（x）+h（x）其中g（x）为偶函数，h（x） 为奇函数，则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x），解关于g（x），h（x）的方程组求出?g（x），h（x）．再利用整体换元法求出?p（t）的解析式p（t）=t2+2mt+m2-m+1．（3）利用分离参数法将m与x分离，转化成对于恒成立，只需m大于或等于的最大值即可．利用基本不等式或函数单调性求出的最大值，可得数m的取值范围．
点评：本题考查函数奇偶性的意义及应用，换元法求函数解析式，函数最值求解，不等式恒成立问题．考查方程思想、分离参数、换元的思想方法．