解答题平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点C满足．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点，求证：；
（Ⅲ）求以AB为直径的圆的方程．
网友回答
解：（Ⅰ）：由
知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：即y=x-4（3分）
（Ⅱ）由（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1x2=16x1+x2=12（6分）
∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16（8分）
∴x1x2+y1y2=0故（10分）
（Ⅲ）∵x1+x2=12，∴y1+y2=x1+x2-8=12-8=4
∴AB的中点C的坐标为（6，2）．
又∵，∴为圆的半径．
∴所求圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=40（14分）解析分析：（Ⅰ）由知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，由此可求出点C的轨迹方程．（Ⅱ）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），能够推导出x1x2+y1y2=0，故．（Ⅲ）由题意知AB的中点C的坐标为（6，2）．为圆的半径．由此可知所求圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=40．点评：本题以圆的知识为载体考查轨迹的方程，解题时要认真审题，仔细解答．