⊙O中,AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,求证:.

发布时间:2020-08-11 19:53:52

⊙O中,AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,求证:.

网友回答

证明:过A作AM⊥CD,过B作BN⊥CD,垂足分别为M、N,
∵AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,AD=BD,
在Rt△ACM中,CM=AC,在Rt△BCN中,CN=BC,
∴CM+CN=(AC+BC),
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM+∠BDN=90°,
又∵∠BDN+∠DBN=90°,
∴∠ADM=∠DBN,
在△ADM与△BDN中,

∴△ADM≌△BDN(AAS),
∴DN=AM,
又∵AM=CM(等腰直角三角形两直角边相等),
∴CM=DN,
∴CD=CN+DN=CN+CM=(AC+BC),
∴=.
解析分析:根据直径所对的圆周角是直角,以及角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=45°,过A作AM⊥CD,过B作BN⊥CD,垂足分别为M、N,得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM=AC,BN=BC,再利用角角边定理证明△ADM与△BDN全等,根据全等三角形对应边相等得到DN=AM,所以DN=CM,从而得到CM+CN=DN+CN=CD,整理即可得证.

点评:本题考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质,以及等腰直角三角形的判定与性质,作出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键.
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