如图,在等边△ABC中,BF是高,D是BF上一点,且OF=AF,作OE⊥BF,垂足为D,且OE=OB,连AE、AO、BE,求证:
(1)AB=AE;
(2)AE⊥BC;?
(3)AO⊥BE.
网友回答
证明:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∵BF⊥AC,
∴AF=FC,∠AFB=90°,
∴OA=OC,
∴∠COF=∠AOF
∵∠AFB=90°,AF=OF,
∴∠OAF=∠AOF=45°,
∴∠COF=45°,
∴∠AOC=90°=∠BOE,
∵∠EOC=∠EOC,
∴∠AOE=∠COB,
在△AOE和△COB中,
,
∴△AOE≌△COB(SAS),
∴AE=BC=AB,
即AB=AE.
(2)设AE、BC交于M,
∵△AOE≌△COB,
∴∠CBO=∠AEO,
∵OB⊥OE,
∴∠BOE=90°,
∴∠CBO+∠BNO=90°,
∵∠CBO=∠AEO,∠BNO=∠ENM,
∴∠AEO+∠ENM=90°,
∴∠EMN=180°-(∠AEO+∠ENM)=90°,
∴AE⊥BC.
(3)∵AB=AE,OB=OE,
∴A在BE垂直平分线上,O在BE垂直平分线上,
∴AO是BE的垂直平分线,
即AO⊥BE.
解析分析:(1)连接OC,证△AOE≌△COB,推出AE=BC=AB.
(2)根据全等得出∠CBO=∠AEO,求出∠EMN=90°即可;
(3)根据线段垂直平分线性质得出AO是线段BE的垂直平分线,即可得出