如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形?

网友回答

A
解析分析：由甲的思路画出相应的图形，连接OB，由BC为OD的垂直平分线，得到OE=DE，且BC与OD垂直，可得出OE为OD的一半，即为OB的一半，在直角三角形BOE中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°，得到∠OBE为30°，利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°，再由∠BOE为三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形；由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确．

解答：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC，∴OE=DE=OD，又OB=OD，在Rt△OBE中，OE=OB，∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，∴∠BOE=60°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，又∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，同理∠C=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠C，∴△ABC为等边三角形，故甲作法正确；根据乙的思路，作图如下：连接OB，BD，∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB，∴△BOD为等边三角形，∴∠OBD=∠BOD=60°，又BC垂直平分OD，∴OM=DM，∴BM为∠OBD的平分线，∴∠OBM=∠DBM=30°，又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，同理∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC为等边三角形，故乙作法正确，故选A

点评：此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及判定是解本题的关键．