函数y=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|的最小值是________．

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解析分析：根据式子特点，分x≤1，1＜x≤2，2＜x≤3，3＜x≤4，x＞4几种情况讨论．

解答：①x≤1时，y=1-x+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）=30-10x，当x=1时，y最小值=30-10=20；
②1＜x≤2时，y=x-1+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）=-8x+28，当x=2时，y最小值=28-16=12；
③2＜x≤3时，y=x-1+2（x-2）+3（3-x）+4（4-x）=-4x+20，当x=3时，y最小值=20-12=8；
④3＜x≤4时，y=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（4-x）=2x+2，无最小值；
⑤x＞4时，y=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）=10x-30，无最小值．
综上所述，原式的最小值为8．

点评：通过分类讨论，将原函数转化为分段函数，再根据x的取值范围求出各段的最小值，取其最小者，即为原函数最小值．