如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AB=AD，DE⊥BC于E，点F为AB上一点，且AF=EC，点M为FC的中点，连接FD、BD、ME，设FC与DE相

网友回答

D
解析分析：由题意可得四边形ABED是正方形，易证得△ADF≌△EDC，继而可得∠FDC=90°，则可得F，B，C，D四点共圆，利用圆周角定理，可得①正确；由圆周角定理可得∠DFN=∠CBD，又由同角的余角相等，证得∠FDN=∠BCD，可证得△DFN∽△DBC；连接BM，DM，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DM=BM，然后利用线段垂直平分线的判定方法，证得ME垂直平分BD；则可得∠MEB=45°，利用三角形中位线的性质与等腰直角三角形的性质，即可求得FB=ME．

解答：∵直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，DE⊥BC，∴∠ABC=∠BED=90°，∴四边形ABED是矩形，∵AB=AD，∴四边形ABED是正方形，∴AD=DE，在△ADF和△EDC中，∵，∴△ADF≌△EDC（SAS），∴∠ADF=∠EDC，∵∠ADF+∠FDE=90°，∴∠FDC=∠FDE+∠EDC=90°，∴∠FDC+∠FBC=180°，∴F，B，C，D四点共圆，∴∠FDB=∠FCB，故①正确；∴∠DFN=∠DBC，∵∠FDE+∠EDC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FDE=∠ECD，即∠FDN=∠BCD，∴△FDN∽△BCD，故②正确；连接BM，DM，∵∠FBC=∠FDC=90°，点M为FC的中点，∴BM=DM=BC，∴M在BD的垂直平分线上，∵ED=BE，∴E在BD的垂直平分线上，∴ME垂直平分BD；故④正确；过点M作MH⊥BC于M，则MH∥AB，∵M在BD的垂直平分线上，∴MH是△CBF的中位线，∴FB=2MH，∵ME垂直平分BD，∴∠MEH=∠BED=45°，∴MH=ME?sin∠MEH=ME?sin45°=ME，∴FB=ME．故③正确．故选D．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质、圆周角定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．