如图1,在△ABC中,E为对角线AB上一点,以AE为一边作正方形AEFH,点F在AC上,连接BF,G为BF中点,连接EG,CG.(1)求证:EG=CG;(2)将图1中

发布时间:2020-07-30 06:50:23

如图1,在△ABC中,E为对角线AB上一点,以AE为一边作正方形AEFH,点F在AC上,连接BF,G为BF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图1中正方形AEFH绕A点逆时针旋转45°,如图2所示,取BF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图1中正方形AEFH绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)

网友回答

(1)证明:在Rt△FCB中,
∵G为BF的中点,
∴CG=FB,
同理,在Rt△BEF中,
EG=FB,
∴CG=EG.

解:(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG
延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,
在△BCG与△FMG中,
∵FG=BG,∠MGF=∠CGB,MG=CG,
∴△BCG≌△FMG.
∴MF=CB,∠FMG=∠BCG,
∴MF∥CB,
∴EF⊥MF.
在Rt△MFE与Rt△CAE中,
∵MF=CA,EF=AE,
∴△MFE≌△CAE
∴∠MEF=∠CEA.
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEA+∠CEF=90°,
∴△MEC为直角三角形.
∵MG=CG,
∴EG=MC,
∴EG=CG.

(3)(1)中的结论仍然成立.
即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.
解析分析:(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.(2)结论仍然成立,延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC,再证明△DCG≌△FMG.得出EF⊥MF;再证出△MFE≌△CBE得到MG=CG;再证明△AMG≌△ENG,最后证出CG=EG.(3)结论依然成立.还知道EG⊥CG.

点评:本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质等知识,利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质.
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