已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（-1，3）和B（2，0），直线AB交y轴于点C，二次函数图象的顶点为D．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P在射线AB上

网友回答

解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（-1，3）和B（2，0），
∴．
解得 b=-2，c=0．
∴y=x2-2x；???????????????????????????????????????

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，则．
解得 k=-1，b=2．
∴直线AB的解析式为y=-x+2，
∴C（0，2）．
∵点P在射线AB上，且△AOC∽△APO，
∴∠A=∠A，
∴AO2=AC×AP，即，
∴．
∵点P在直线AB上，
∴设P（x，2-x），
∴，
解得 x=4或-6（舍），
∴P（4，-2）．

（3）∵y=x2-2x，
∴顶点D（1，-1）．
连BD，作PH⊥x轴．
∵B（2，0），P（4，-2），
∴∠OBD=45°，∠HBP=45°，
∴∠DBP=90°，
∴tan∠APD=．????????????????????????
解析分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）由于P、C不重合，若△AOC∽△APO，只有一种情况，即∠AOC与∠APO对应相等，可根据相似三角形得到的比例线段求出AP的长；然后根据直线AC的解析式设出P点的坐标，根据P、A的坐标表示出AP的长，联立上面得到的AP的值，即可求出P点的坐标；
（3）根据P点的坐标，易求得∠PBH=45°；连接BD后发现∠OBD=45°，由此可证得∠PBD=90°，那么∠APD的正切值即为BD、PB的比，由此得解．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定、直角三角形的判定、锐角三角函数的定义等知识，难度适中．