f(x+y)=f(x)f(y),如果函数是连续的,证明f(x)是指数函数

网友回答

∵f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]²≥0∴lnf(x+y)=lnf(x)+lnf(f)令g(x)=lnf(x)∵f(x)连续∴g(x)连续且g(x+y)=g(x)+g(y)由柯西定理g(x)=xg(1)∴lnf(x)=xlnf(1)∴f(x)=e^[x*lnf(1)]=e^[lnf(1)^x]=[f(x)]^x令f(1)=a>0...======以下答案可供参考======
供参考答案1:
∵ f(x+y)=f(x)f(y)
f(x+x)=f(x)f(x)=f(x)^2
f(2x)=f(x)^2
∴ f(nx)=f(x)^n
又∵ f(x)=a^x 是标准指数函数
f(nx)=a^（nx）=(a^x)^n=f(x)^n
∴f(x)是指数函数