求问：一个概率混合分布X=a1X1+a2X2+...+akXk,其矩和矩母函数的性质的问题下面最后两

网友回答

因为X 按 a1,ak的概率分布分别取X1...Xk的值
所以E(g(X))=a1E(g(X1))+.akE(g(Xk))
X^n不过也是一类X的函数
Mx(t)=E(e^(tX))
E(e^(tX)=a1E(e^(tX1))+.akE(e^(tXk))
对e^(tX)一样applied
moment generating func 还有个有趣的特性
Mx(t)=E(e^(tX))
=E( 1+tX/1!+(tX)²/2!+(tX)³/3!...)注意对t求导,不要降X的次数
Mx'(t)=E(X+X²t/1!+X³t²/2!.)
Mx(t)=E(X²+X³t/1!+x^4t²/2!...)
Mx(n)(t)(Mx(t)的n阶导数)=E(X^n+X^(n+1)t+X^(n+1)t²/2!+...)
若带入t=0
Mx'(0)=E(X)
Mx(0)=E(X²)
Mx(n)(0)=E(X^n)
然後我们把红圈下面式子求导t次,得到
Mx(n)(t)=a1Mx1(n)(t)+...akMxk(t)
代入t=0得到E(X^n)=a1E(X1^n)+.akE(Xk^n)
一唱一和