双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是A.[4-4，4）B.C.D.

网友回答

D

解析分析：因为双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，所以a+b+c=4，把a+b用c表示，代入a2+b2=c2中，化简，再用均值不等式就可得到c的一个范围，再根据a2+b2=c2，得到c＜a+b，代入a+b+c=4，又可得到c的一个范围，两个范围取公共部分，就可得到半焦距c的取值范围．

解答：∵双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，∴2a+2b+2c=8，a+b+c=4，∴a+b=4-c在双曲线中，a2+b2=c2，∴a2+b2+2ab-2ab=c2，即（a+b）2-2ab=c2，∴（4-c）2-2ab=c2，ab=∵a＞0，b＞0，∴ab≤=即≤，化简得，c2+8c-16≥0解得，c≥4-4，或c≤-4-4又∵a2+b2=c2，∴c＜a+b，∴2c＜a+b+c=4，c＜2∴半焦距c的取值范围是[4-4，2）故选D

点评：本题主要考查双曲线中a，b，c的关系式，以及和均值定理相结合求范围，属于综合题．