已知椭圆的左焦点与短轴的两个端点构成边长为2的等边三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），（x1≠x2）是椭圆上不同的两点，且x1x2+4y1y2=0．
（1）求椭圆C的方程．
（2）求证：x12+x22=4．
（3）在x轴上是否存在一点P（t，0），使？若存在，求出t的取值范围，若不存在，说明理由．
网友回答
解：（Ⅰ）由题设左焦点与短轴的两个端点构成边长为2的等边三角形，
可得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）由x1x2+4y1y2=0，得x12x22=16y12y22
∵x12+4y12=4，x22+4y22=4
∴x12x22=16y12y22=16-4（x12+x22）+x12x22
故x12+x22=4
（Ⅲ）假设存在点P（t，0），使得，
则（x1-t）2+y12=（x2-t）2+y22
∴（x1-x2）（x1+x2-2t）=y22-y12
故
x1≠x2，∴
又，
∴x1，x2是方程的两个根
由，得，
故存在点P（t，0），使得，且t的取值范围为
解析分析：（1）根据题意，结合等边三角形的性质，可得a=2，b=1，代入椭圆方程，可得