解答题已知等比数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数

发布时间:2020-07-26 15:16:16

解答题已知等比数列{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,证明am,am+2,am+1成等差数列; (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题,判断它的真伪,并给出证明.

网友回答

(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析解析 (Ⅰ) ∵Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2.由已知2Sm+2=Sm+Sm+1,∴ 2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1),∴am+2=-am+1,即数列{an}的公比q=-.∴am+1=-am,am+2=am,∴2am+2=am+am+1,∴am,am+2,am+1成等差数列. (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是:若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.设数列{an}的公比为q,∵am+1=amq,am+2=amq2.由题设,2am+2=am+am+1,即2amq2=am+amq,即2q2-q-1=0,∴q=1或q=-.当q=1时,A≠0,∴Sm, Sm+2, Sm+1不成等差数列.逆命题为假.
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