如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是A.2B.C.D.

网友回答

B

解析分析：中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时由直角三角形ABC的面积等于两直角边乘以的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD来求出，根据面积相等可得出CD的长，即为线段PQ长度的最小值．

解答：线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径，如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，∵圆F与AB相切，∴FD⊥AB，∵AB=5，AC=4，BC=3，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，且S△ABC=BC?CA=CD?AB，∴CD==．故选B

点评：此题考查了切线的性质，垂线段最短，圆周角定理，以及直角三角形面积的求法，其中根据题意得：当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD为最小值是解本题的关键．