△ABC中，∠A=60°，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O．下列结论正确的有_____个①∠EOC=60°；②OE=OF；③BC=BF；④BC=BE=CF．A.1

网友回答

B

解析分析：①根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解；②截取CD=CE，利用“边角边”证明△CEO和△CDO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠COE=∠COD，全等三角形对应边相等可得OE=OD，然后求出∠BOF=∠BOD=60°，再利用“角边角”证明△BOD和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OF，从而得到OE=OF；③根据全等三角形对应边相等可得BF=BD，从而判断本小题错误；④假设BE=CF成立，可以求出OB=OC，根据等边对等角可得∠OBC=∠OCB，然后求出∠ABC=∠ACB，此条件无法得到，从而判定本小题错误．

解答：①∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，∵∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°，∠EOC=180°-∠BOC=180°-120°=60°，故本小题正确；②如图，截取CD=CE，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ECO=∠DCO，在△CEO和△CDO中，∵，∴△CEO≌△CDO（SAS），∴∠COE=∠COD=60°，OE=OD，∵∠BOC=120°（已证），∴∠BOD=120°-60°=60°，又∵∠BOF=∠COE=60°，∴∠BOF=∠BOD=60°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠FBO=∠DBO，在△BOD和△BOF中，∵，∴△BOD≌△BOF（ASA），∴OD=OF，∴OE=OF，故本小题正确；③∵△BOD≌△BOF，∴BF=BD，∴BC=BF错误，故本小题错误；④假设BE=CF成立，∵OE=OF，∴BE-OE=BF-OF，即OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，∴∠ABC=∠ACB，此条件无法求出，所以假设不成立，故本小题错误．综上所述，正确的是①②共2个．故选B．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，要注意整体思想的利用．