发布时间:2021-02-20 01:19:15
二面角α–EF–β的大小为120°,A是它内部的一点AB⊥α,AC⊥β,B,C分别为垂足.
(1)求证:平面ABC⊥β;
(2)当AB=4cm,AC=6cm,求BC的长及A到EF的距离.
(1)∵AB⊥α,EFα,∴EF⊥AB,同理EF⊥AC,AB,AC是两条相交直线,∴ EF⊥平面ABC,∵ EFα,EFβ,∴ 平面ABC⊥平面α,平面ABC⊥平面β。
(2)设平面ABC与EF交于点D,连结BD,CD,则BD,CD平面ABC,∵EF⊥平面ABC,∴ EF⊥BC,EF⊥DC,∠BDC是二面角α–EF–β的平面角,∠BCD=120°,A,B,C,D在同一平面内,且∠ABD=∠ACD=90°,
∴∠BAC=60°,当AB=4 cm, AC=6 cm时,
BC=
又∵ A,B,C,D共圆,∵AD是直径。∵ EF⊥平面ABC,AD平面ABC,
∴ AD⊥EF,即AD是A到EF的距离,由正弦定理,得AD==(cm)