已知点A.B的距离为2.以B为圆心作半径为22的圆.P为圆上一点.线段AP的垂直平分线l与

网友回答

解：（1）以AB中点为原点，直线AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A（－1,0），B（1,0） .

设M（x,y）,由题意：|MP|=|MA|,|BP|=，所以|MB|+|MA|=.

故曲线C是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆，

其方程为x2+2y2=2.

（2）直线l与曲线C的位置关系是相切.证明如下:

由（1）知曲线C方程为x2+2y2=2，设P(m,n)，则P在⊙B上，

故(m-1)2+n2=8，即m2+n2=7+2m .

当P、A、B共线时，直线l的方程为x=±，显然结论成立.

当P、A、B不共线时，直线l的方程为y-，

整理得，y=－.

(x-)＋＝.

把直线l的方程代入曲线C方程得x2+2（）2＝2.

整理得，[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)·(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0.

判别式Δ＝[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2] [2(m+3)2-2n2]= -8n2·[(m+3)2-n2-2(m+1)2]

=-8n2[-m2-n2+2m+7]=0,

∴直线l与曲线C相切.

另证：在直线l上任取一点M′，连结M′A、M′B、MA，

由垂直平分线的性质得|M′A|=|M′P|，

∴|M′A|+|M′B|＝|M′P|+|M′B|≥｜PB｜＝（当且仅当M、M′重合时取”=”）.

∴直线l与椭圆C有且仅有一个公共点M.

结论得证.