解答题如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2,CD=1,侧面PBC⊥底面ABCD,点F在线段AP上,且满足.
(1)证明:PA⊥BD;
(2)当λ取何值时,直线DF与平面ABCD所成角为30°?
网友回答
(1)证明:如图,∵△PBC是等边三角形,O是BC中点,∴PO⊥BC.
由侧面PBC⊥底面ABCD,得PO⊥平面ABCD,
以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2,
∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,)
∴
∴
∴
∴PA⊥BD;
(2)解:∵,
∴
∵
∴=
∵平面ABCD的一个法向量=(0,0,1),直线DF与平面ABCD所成角为30°
∴sin30°=||
∴4λ2-16λ+7=0
∴,(舍去)
∴λ=时,直线DF与平面ABCD所成角为30°.解析分析:(1)先证明PO⊥平面ABCD,再建立空间直角坐标系,利用向量的数量积为0,可证得PA⊥BD;(2)利用平面ABCD的一个法向量=(0,0,1),直线DF与平面ABCD所成角为30°,根据向量的夹角公式,即可求得结论.点评:本题考查线线垂直,考查线面角,考查李建勇空间向量解决立体几何问题,属于中档题.