线代特征值与特征向量证明题不好手打.【对分块矩阵不太了解,一个分块矩阵求行列式的值可以直接用对角线上

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先约定一下记号:
用'表示转置,Ek表示k阶单位矩阵,不写下标时表示m+n阶单位阵,
矩阵分块表示为[M,N;P,Q],其中M,Q分别为m阶和n阶方阵,
列向量相应分块为[X;Y],其中X,Y分别属于R^m,R^n.
题目叙述为:若对m×n矩阵A,λ为B = [0,A;A',0]的非零特征值,则λ²为A'A的特征值.
证法一:设Z = [X;Y]是B的属于特征值λ的特征向量,即有BZ = λZ且Z ≠ 0.
由分块乘法知BZ = [0,A;A',0][X;Y] = [AY;A'X].
得AY = λX,A'X = λY,有A'AY = A'(λX) = λA'X = λ²Y.
而若Y = 0,由AY = λX及λ ≠ 0,有X = 0,进而Z = [X;Y] = 0,矛盾.
因此Y ≠ 0,又A'AY = λ²Y,故Y是A'A的特征向量,λ²是A'A的特征值,证毕.
证法二:设C = λE-B = [λEm,-A;-A',λEn],由λ为B的特征值,有|C| = |λE-B| = 0.
由λ ≠ 0,可取分块初等矩阵S = [Em,0;A'/λ,En].
S作为分块下三角矩阵,可得|S| = |Em|·|En| = 1.
由分块乘法知SC = [λEm,-A;0,λEn-A'A/λ],是分块下三角矩阵.
有|SC| = |λEm|·|λEn-A'A/λ| = λ^(m-n)·|λ²En-A'A|.
另一方面,|SC| = |S|·|C| = |C| = 0,而λ ≠ 0,故|λ²En-A'A| = 0.
即λ²是A'A的特征值,证毕.
注:一般分块矩阵的行列式不能直接分块计算,只能想办法化为分块上(下)三角矩阵来计算.
不过可以证明:若A,B,C,D都是n阶方阵,并满足AC = CA,则|[A,B;C,D]| = |AD-CB|.
证明先从A可逆的情况入手,用分块初等变换化为分块上三角矩阵计算,并用条件AC = CA.
对于A不可逆的情况,先用可逆时的结论证明:
|[A+xE,B;C,D]| = |(A+xE)D-CB|是关于x的恒等式 (左右之差作为关于x的多项式有无穷多个零点),
再取x = 0即得结论 (细节略,有兴趣的话自己证一下).
实际上只需A或D与B或C可交换,就能得到类似的结论,不过形式上稍有区别.
例如AB = BA时成立|[A,B;C,D]| = |DA-CB|.